Q. 수학교육에 있어서 여러 가지 활동하게 된 계기는?
A. 수학교육이 현재 '산으로 가고 있지 않나?' 그런 생각이 들었다. 수학은 굉장히 어려운 과목입니다. 그리고 아이들도 어렵게 수학을 배우고 있는데 수학을 가르치고 있는 선생님들이 너무 형식적으로 가르치고 있지 않나 싶었습니다. 어릴 때부터 아이들은 실생활에 어떤 상황들이 수학적으로 연결되는 경험을 해야 하는데 수식어로 가득 찬 문제풀이만 반복하는 게 문제라고 생각했고 자연스럽게 수학교육을 할 수 있는 방법들을 많이 제시하고 있습니다.
Q. 수학이 어렵게 느껴지는 이유?
A. 아마 작가님도 경험이 있으실 거예요. 학교에서 수학 문제를 풀다가 '분명 저번에 풀었던 것 같은데...' 똑같은 문제인데도 잘 안 풀리는 경우 혹은 시험 칠 때 그 순간 생각이 안 나서 못 풀고 답안지를 제출한 후에야 생각이 나는 경우가 많습니다. 그런데 모든 학생들이 겪게 되는 공통된 현상입니다. 우리나라뿐만 아니라 외국에서도 마찬가지입니다. 이런 현상을 '수학불안'이라고 합니다. 이처럼 수학은 모든 학생들에게 어렵고 힘든 과목인데요. 그 이유를 3가지로 생각해 봤습니다. 첫째, 수학 자체가 어렵다. 수학의 발전을 보면 오래된 역사를 지니고 있습니다. 고대 그리스 시대부터 발전을 해왔는데 소수의 천재 수학자들이 발전, 계승시켜 온 학문이 바로 수학입니다. 아주 어려운 천재들에 의해 발전해 온 수학을 가르치고 있기 때문에 당연히 어려울 수밖에 없는 것이죠. 두 번째 이유는 수학의 언어입니다. 수학의 언어는 수식인데 일상 언어와는 다릅니다. 1,2,3이라는 숫자가 쉽게 생각하지만 굉장히 어려운 개념입니다. 사람 한 명, 물 한 컵, 책 한 권. 이런 것들이 추상화된 개념이 '1'이거든요. '1'이라는 것은 굉장히 많은 의미가 포함되어 있습니다. 이렇게 추상화된 수학을 다루고 있는 수학, 어려울 수밖에 없는 거죠. 세 번째는 어려운 수학을 ' 너무 어렵게 가르치고 있지 않나 '그런 생각이 듭니다.
Q. 어떤 점에서 어렵게 가르치고 있다고 생각하는지?
A. 아까 말씀드렸듯이 수학은 추상적이고, 형식적인 소수의 천재들에 의해서 만들어진 어려운 학문인데 이런 형식적인 수학을 바로 아이들에게 가르치고 있다는 것이죠. 수학은 실생활에서 연결 지어 학습을 시켜야 한다고 생각합니다.
Q. 문제의식을 언제부터 가지게 됐는지?
A. 저는 수학을 가르치면서 항상 느꼈어요. 수학을 처음 배우는 저학년 아이들한테는 수학에 대한 첫인상이 중요한데 수식으로만 가득 찬 학습지를 풀고 있는 것이 좀 안타까웠고요. 실생활과 연결시킬 수 있는 모델을 많이 생각해 보게 됐습니다.
Q. '수포자'쓰면 안 되는 이유?
A. 수포자라는 단어는 사실 우리나라에만 있는 단어입니다. 세계 어디에도 수포자라는 단어는 없어요. 제가 싱가포르 가서 처음 확인해 된 게 바로 이겁니다. 수학을 싫어하는 학생들은 있지만 학생들을 낙인찍는 단어는 없다는 거죠. 심지어 우리나라는 국어사전에다 등재가 되어 있습니다. '지식의 저주'라는 용어가 있어요. 정보가 많으면 합리적인 선택을 할 수 있을 것 같은데 오히려 손해 볼 수 있다는 겁니다. 왜냐하면 너무 많이 알고 있기 때문에 그게 오히려 득이 아니라 실이 된다는 거죠. 아는 것이 힘이 아니라 병이 되는 거죠. 이게 어떻게 수학교육에 적용되냐면 이미 알고 있는 나의 수학지식을 아이들이 쉽게 이해하고 쉽게 공부할 수 있다고 착각을 하는 거죠. 예를 들어서 2+3=5라는 수식이 있다고 생각해 보세요. 초등학교 1, 2학년들이 공부한다고 생각할 때 아이들이 경험을 하는 체감 난이도는 고등학생들이 미적분을 공부할 때처럼 굉장히 어렵게 느껴지는 것이죠. 학습에 있어서 우리 아이들이 가질 수 있는 이런 어려움들을 어른들이 잘 모르고 수학을 가르치는 사람들이 잘 모르고 어떤 낙인을 찍는 것은 좋지 않다고 생각한다. 좀 더 아이들의 눈높이에서 맞춰서 교육할 필요가 있다. 제가 수포자라는 말을 쓰지 않아야 된다는 주장을 하는 이유는 바로 그런 맥락입니다. 우리 아이들이 수포자라는 말이 오가는 삭막한 교실에서 올바른 꿈을 키우고 수학 공부를 할 수 있을지 의문이 들고요. 시중의 서점에서 수학교육 관련 책들이 있는 코너를 보시면 수포자라는 단어를 쓴 책들이 굉장히 많을 거예요. '상업적으로 이 단어를 너무 이용하고 있지 않나?' 그런 생각이 들고요. 그래서 많이 아쉬운 점입니다.
Q. 수학머리, 이과머리가 있나요?
A. 수포자에 대해서 말씀드렸는데 수포자를 치료하는 수학클리닉이라는 새로운 용어를 들었어요. 교육청별로 수학클리닉 센터가 설치되어 있을 거예요. 흔히 말하는 수포자, 수학을 못하는 아이들을 데려가서 치료를 하더라고요. 그런데 클리닉은 병원인데 수학을 못하는 게 병은 아니잖아요. 사실 그런 용어 자체들이 불필요하게 '너무 남발되고 있지 않나?' 이런 생각을 하고요. 이제 문이과가 통폐합이 되었는데 이게 맞다고 봅니다. 수학을 잘하는 인문학자, 글을 잘 쓰는 과학자. 요즘 굉장히 각광받지 않습니까? 앞으로는 문이과를 넘나드는 지식을 통섭, 통합해서 사고를 잘하는 아이들이 앞으로 미래를 살아가는데 도움이 될 것이라고 생각합니다.
Q. 싱가포르와 우리나라 수학교육의 공통점과 차이점?
A. 우리나라 못지않게 수학을 굉장히 열심히 공부합니다. 국제 수학 교육 평가지수가 세계 1위입니다. 공통점은 열심히 수학공부를 하고 결과가 좋은 것입니다. 싱가포르는 유럽 학제라 초등학교를 졸업하면 거의 진로가 나뉘고 정해져요. 계속 공부를 해서 대학을 갈 학생과 아니면 직업 교육을 받을 학생으로 구분이 됩니다. 초등학교를 졸업하고 중학교를 가려면 시험(PSLE)을 봐야 하는데 이 시험이 국가적인 행사로 우리나라의 수능 시험과 비슷합니다. 그래서 초등학생들이 공부를 굉장히 많이 하고요. 입시 스트레스도 우리나라 못지않게 많을 겁니다. 그러나 차이점은 싱가포르는 실생활과 연관된 교육을 많이 합니다. 똑같은 수학 공부를 해도 싱가포르 학생들은 실생활 문제 상황에서 수학적인 원리나 법칙들을 가져와서 공부하기 때문에 분명히 수학이 실생활이라 연결될 것이다라는 믿음을 갖고 있거든요. 예를 들어 중학생들이 정비례를 공부하면서 실생활에서 정비례가 이용되는 사례를 생각합니다. 고등학교에서는 미적분을 공부하면서 미적분과 관련된 어떤 상황이 분명히 있을 것이다라고 생각하면서 공부를 하기 때문에 그 학생들은 수학의 유용성을 알고 공부를 하는 것이죠.
Q. 실생활과 수학을 연결하는 방법?
A. 현실 세계와 수학의 세계로 말씀하셨는데 수학교육 연구자들 사이에서도 굉장히 오래된 고전입니다. 프로이덴탈이라는 수학교육학자가 있어요. 이분들이 늘 강조하는 게 어떤 수학을 아이들에게 바로 가르치는 게 아니라 항상 현실 세계와 연결시켜 가르치라고 이야기를 하거든요. 이것을 수학적 모델링이라고 합니다. 예를 들면 코로나 팬데믹 감염병 현실 세계를 실제로 수학자들이 수식으로 변환해서 연구를 합니다. 보통 네이처나 사이언스, 셀 같은 아주 유명한 학술지 공동 저자들이 많이 있죠. 그 저자들 중에는 반드시 수학자가 포함되어 있습니다. 이처럼 수학을 현실세계로 가져와야 되는데 아이들은 중간단계가 필요합니다. 수학적 관점에서는 그림이나, 표와 같은 시각적인 모델을 이용해서 중간단계의 모델을 잘 가져와서 가교 역할을 해야 한다고 합니다.
Q. 수학에서 가교, 그림은 어떤 의미?
A. 코로나 감염상황을 예로 들어볼게요. 우리가 분수를 지금 학습하고 있는 상황인데 2분의 1과 10분 5는 똑같은데 이것을 아이들에게 가르칠 수 있을지 현실 상황을 생각하는 거죠. 10명의 사람들 중에서 5명이 코로나에 걸렸다면 코로나 감염률이 10분의 5가 됩니다. 또 다른 집단은 6명 중 3명이 감염이 됐다면 감염률은 6분의 3이 됩니다. 이 두 경우가 결국 2분의 1과 같습니다. 그런데 이 상황을 바로 수식인 분수로 나타내는 게 아니라 그림을 그려 보는 거예요. 동그라미로 10명을 그려본 다음에 감염자 5명을 빗금을 쳐보는 거죠. 그리고 6명 중 3명, 2명 중 1명도 같은 방법으로 그려보면 전체적인 비율은 같다는 것을 쉽게 알 수 있게 됩니다. 이렇게 시각적으로 그림을 그리게 하면 이해가 빠르게 됩니다. 이와 같은 연습을 많이 해보는 것이 중요합니다. 문제를 해결하는 상황에서 문제 해석이 잘 안 되거나 중간에 해결 방법이 생각이 안 날 때 이런 식으로 그림을 그리는 것이 상당히 도움이 됩니다. 중고등학교에서 방정식 문제를 풀 때 수식으로 문제를 푸는데 이런 수식문제를 그림 니나 그래프를 그려 보면 머릿속에서 또 따른 표상이 작동하는 것이거든요. 그래서 문제 해결이 훨씬 수월해질 수 있는 겁니다. 실제로 아인슈타인이 " 내 사고와 영감에 영향을 줬던 건 말이나 글, 수식이 아니라 그림과 이미지다. "라는 어록을 남겼어요. 이처럼 그림과 이미지는 우리의 사고를 자극시키는 원초적인 표상이라고 할 수 있습니다. 사실 그림이라는 것은 아주 오래전부터 인류가 사용해 오던 그런 표상이었습니다. 인간은 동굴에 그림을 그리며 의사소통을 했었는데 그런 것들이 우리 유전자에 코딩되어 있지 않나 그렇게 생각합니다. 지금 우리가 쓰고 있는 수식어들은 수학에서 쓰기 시작한 지는 르네상스 이후부터이기 때문에 오래되지 않았어요. 문자와 수식으로 된 딱딱한 수학을 그림을 그리면 사고와 연결시킬 수 있는 연결고리가 만들어진다고 생각합니다.
Q. 시험 점수가 안 나오는 아이 수학 실생활 연결과 어떤 관계?
A. 수업시간에 아이들과 수학에 대해 논하면서 가장 많이 하는 단어가 '연결'입니다. 연결은 실생활과 수학을 연결하는 외적 연결과 수학 자체의 연결인 내적 연결로 크게 두 가지가 있습니다. 예를 들어서 문제를 풀다가 과거의 푼 문제 해결 방법을 생각해 내는 것은 내적 연결이고 내가 방정식 문제를 푸는데 이것과 관련된 기하나 도형의 문제를 생각하는 것도 내적 연결이 됩니다. 그런데 수학을 정말 열심히 하는데 점수가 오르지 않는 학생을 유심히 보면 이런 내적 연결이 잘 안 되는 경우가 많아요. 내가 열심히 공부를 했는데 새로운 문제를 푸는 상황에서 과거에 똑같이 풀었던 그 문제랑 문제 해법이 연결이 안 되는 거죠. 그리고 이 문제를 해결할 때 또 다른 연결될 수 있는 내용을 생각하면 쉽게 풀 수 있는데 수학에서 그런 연결이 안 되는 거예요. 연결고리가 없는 겁니다. 따로따로 공부하지 이것들을 하나의 유의미한 연결망으로 조직해 놓지 못한다는 이야기죠. 아주 유명한 심리학적 용어 중에 '스키마'라는 용어가 있어요. 지식의 덩어리, 지식의 구조를 말합니다. 피아제가 말한 건데요. 산발적인 내용들을 하나의 스키마로 연결시켜 놓아야지만 학습에 좋은 결과가 있습니다. 모든 수학 내용들을 관련된 내용들을 연결고리로 만들어야 되는 게 핵심입니다. 그래서 수학을 못하는 아이들은 이런 연결 고리들이 잘 안 되어 있는 것이고 수학을 잘하는 아이들은 반대로 견고하게 조직이 되어 있는 거죠.
Q. 연결이 잘 될 수 있었던 이유?
A. 수학 교육학에서는 연결이라는 말을 유추라고 표현합니다. 우리가 알고 있는 지식과 새로운 지식을 연결하는 것을 의미하는 것이거든요. 유추의 3가지 예를 들자면, 첫 번째는 과거 풀어본 문제와 풀 문제의 연결하고 두 번째는 개념과 문제를 연결하고 세 번째는 수학 지식들을 연결하는 것입니다. 방정식, 함수, 도형이 있는데 이들 사이에 연결을 말하는 것입니다. 수학을 잘하는 아이들은 개념하고 문제풀이의 연결, 마개념과 지식들을 컴퓨터의 폴더처럼 견고하게 저장이 되어 있고 굉장히 체계적이고 유기적으로 저장한 지식을 필요할 때 바로바로 꺼내 쓸 수 있는 것이죠. 우리가 지식을 쌓을 때 지식이 차곡차곡 쌓이는 게 아니에요. 내가 10일 전 , 9일 전 공부한 흩어져 쌓인 지식을 잘 조직화시켜야 하는 것처럼 수학에서 그런 조직화와 연결망의 중요성을 강조하고 싶습니다.
Q. 연결의 원리를 학습에 적용하는 방법?
A. 결국 다양한 표상을 이용해야 합니다. 표상이라는 것은 우리가 가지고 있는 생각, 마음의 양식 같은 것을 표현하는 방식을 이야기하는데요. 말, 수식, 글, 그림 등으로 다양한 표상을 통해서 표현하고 지식을 저장을 하면 조금 더 오래 기억하고 인출이 잘되고 잘 적용할 수 있게 됩니다. 실제로 수학 문제를 푸는 과정에서 그림을 그리라고 강조를 했는데 그림 속에서 내가 가지고 있는 지식을 탐색을 할 수 있다는 겁니다. 단순히 글이나 말에서 찾는 게 아니라 그림을 그리면 내 지식에 접근할 수 있는 힌트를 잘 찾을 수 있게 됩니다.
Q. 엄빠표 수학의 쉬운 접근 방법?
A. 아이들이 학교나 학원에서 어떻게 하고 있는지 가만히 들여다보면 많은 부분이 형식적이고 수식만 있는 수학을 하는 경우가 많습니다. 집에서 실생활과 연결을 많이 시켜주시는 거예요. 아이가 "20X3= 어떻게 계산해요?"라고 물어보면 대부분 "2X3 한 다음에 뒤에 0을 붙여"라고 말해줍니다. 강의하는 선생님들도 그렇게 가르쳐주시더라고요. 그렇게 되면 아이들은 단순히 외우게 되죠. 그런데 부모님들이 "마트에 가서 생수 20병 , 3묶음이 20X3이야"라고 말해주실 수 있죠. 전자는 이해가 없는 주입식 형태의 접근 방식인데 후자는 수학을 접근하는 방식이 아주 다른 거예요. 가로 2CM, 세로 3CM 인 직사각형 넓이를 구하는 과정에서 이것을 6개로 나눠보면 정사각형 6개로 나누어집니다. 이것을 색종이로 오려보면 넓이가 왜 6이 되는지 원리를 알게 되고 완벽한 이해를 할 수 있게 됩니다. 엄빠표 수학이라도 아이의 눈높이에 맞게 다양한 표상을 이용해서 설명을 하는 것에 초점을 둔다면 아주 효과적이고 성공적일 것입니다. 학교나 학원에서는 이런 활동들을 하기에는 학생수도 많고 시간도 많지 않기 때문에 집에서 부모님들이 챙겨주시면 아이들에게 도움이 될 것 같습니다. 언어나 수식을 이용하기보다는 시각화시켜 개념이나 지식을 연결시키고 이해시키는데 도움이 됩니다. 그리고 중요한 것은 부모님과 아이들이 머리를 맞대고 공부할 수 있는 시기가 초등학교까지만 이라고 말씀드리고 싶습니다. 중학교 때는 친구들이랑 도서관에서 공부하는 것을 선호하지 부모님과 공부하는 것을 선호하지 않기 때문이죠. 초등학교 시절 부모님과 공부하는 작은 습관들, 엄빠표 수학을 해야 된다라고 말씀드리고 싶습니다.
Q. 부모님이 아이들에게 꼭 만들어 주어야 하는 습관?
A. 가장 중요한 3가지를 말씀드릴게요. 우선 수학이라는 게 수식이라는 언어로 되어 있는데 수학은 매일 해야 합니다. 조금씩, 단10분이라도 매일 하는 것이 좋습니다. 두 번째는 문제를 풀 때 깨끗하게 푸는 연습을 해야 합니다. 보통아이들이 수학문제를 푸는 것을 보면 열심히 빈칸에 풀고 지우 고를 반복해서 내가 어떤 과정으로 풀었는지 알 수 없는 경우가 많아요. 심지어 어떤 학생은 책상에도 풉니다. 내 과정을 반성하고 내가 어디서 틀렸는지 알 수가 있습니다. 세 번째는 후다닥 답만 구하는데 만족하지 말고, 그 답을 구하는데 까지 걸린 노력들, 그런 과정들을 반성하면서 내가 이 문제를 잘 풀었는지 , 이 문제를 왜 틀렸는지를 확인해야 하고 또 다른 풀이가 있는지를 생각해봐야 합니다. 이런 반성적인 사고를 통해서 아이들의 실력이 성장하게 될 것입니다. 마지막으로는 작은 성취를 칭찬해줘야 합니다. 아이들이 작은 성공을 한 순간 칭찬하는 것을 잊지 말아야 합니다. 야학에서 초중검정고시를 준비하는 할머니들을 가르친 적이 있는데요. 할머니들이 수학을 잘 모르시는데 어떻게 하면 수학을 공부하게 만들까? 고민을 많이 했는데 그때 터득한 방법이 칭찬을 많이 해드리는 겁니다. 아주 조금만 성과에도 잘했다고 칭찬해 드리고 참 잘했어요 도장을 찍어드렸는데 그랬더니 할머니들이 말씀하시더라고요. 그 도장을 받으려고 열심히 했어요. 우리 아이들도 마찬가지입니다. 작은 성공을 했을 때, 부모님들의 이런 따뜻한 관심과 배려가 아이들 수학 공부를 하는데 동기를 부여해 줄 것이라고 믿습니다.
Q. 부모님 들깨서 꼭 기억하셔야 할 태도나 관점?
A. 결과에만 집중하지 않으셨으면 좋겠습니다. 왜냐면 수학이라는 학문은 형식적인 결과가 명확히 눈에 보이는 건데 형식적인 결과를 얻기 위해서 발견하는 논리는 거칠거든요. 예를 들면, 수학문제를 풀기 위해서 머릿속으로 생각하고 중간중간 단계가 있지 않습니까? 수학 문제를 풀기 위한 중간과정은 시행착오이고 모험입니다. 틀려도 좋습니다. 틀리면 다시 돌아와서 또 다른 방법을 생각하면 되거든요. 그러니까 아이들의 중간까지의 결과, '여기까지는 풀었는데 그다음으로는 못 넘어간다.' 그러면 거기서 점검을 해주는 겁니다. 맞다면 힌트를 주시면 되고 틀리면 왜 틀렸는지 멘토 역할해주셔야 합니다. 실제로 최근에는 결과만 보는 평가보다 '과정평가'를 보는데 비중을 늘리고 있는 추세입니다. 지금 과정평가를 하는 것을 보면 학생들이 해놓은 결과에서의 과정을 보는 있어요. 진정한 의미에서 과정평가라는 것은 중간중간 학생들에게 멘토 역할을 해서 힌트를 주고 학생들을 반응을 보는 겁니다. 피드백평가라고 하는데 중간에 방향을 제시해 주는 거죠. 낯선 곳에서 중간에 이정표를 보면서 올바른 길을 찾아가지 않습니까? 그것과 같은 거죠. 부모님들이 아이들의 시행착오나 실수를 충분히 인정해 주시고, 그것을 받아들이시고 , 도와주는 역할을 하는 것이 가장 중요하다고 생각합니다. 수학을 잘하는 학생도 심지어 수학자들도 실수를 많이 합니다. 우리가 결과만 보기 때문에 완벽한 풀이가 되어 있을 거라고 생각하는데요. 수학자 들고 그 결과를 얻기 위해 많은 시행착오를 겪고 중간에 막히는 경우도 많습니다. 그러면 다른 사람이 연구해 놓은 결과를 참고해서 또 확장시켜서 결과를 얻기도 합니다. 그런 일들이 수학사에도 많습니다. '페르마의 마지막 정리'는 350년 난제였거든요. 수학에서 오랫동안 당대 최고 수학자들을 괴롭히는 그런 문제들이었는데 , 앤드류 와일즈 교수도 8년 동안 이 문제를 증명하기 위해서 집에서 칩거하며 두문불출했어요. 그때 그 난관을 뛰어넘을 수 있게 만든 것이 바로 일본의 수학자들이 발표해 놓은 이론들을 섬광처럼 아이디어가 떠올라서 연결을 드라마틱하게 해결했거든요. 중간중간 막힘은 누구든 다 있다는 것이죠. 그런데 여기에서 그 막힘을 돌파할 수 있는 멘토, 아니면 또 다른 연구 결과나, 또 다른 개념이 이런 것들을 연결시켜 해결해 나갈 수 있는 맥락이 필요한데 아이들이 막힘을 돌파할 수 있게 멘토 역할을 잘해주셨으면 좋겠습니다.
Q. 마지막으로 하고 싶은 말씀?
A. 초등학생은 잔잔한 연못의 오리배를 타고 다닐 수 있지만 중, 고등학생이 되면 아주 거친 파도와 싸우는 넓은 바다로 나가야 됩니다. 그래서 우리 아이들에게 크고 튼튼한 배를 만들 수 있고 그 배를 타고서 멋진 항해를 할 수 있게 만들 수 있는 작업들을 선생님들이나 부모님이 꼭 해주셨으면 좋겠다는 말씀드립니다.
영상링크:
https://youtu.be/fX4CHoPAru0?si=0p2d1oRQhp0adY20
https://youtu.be/LOgNXCC47fY?si=kf1rrIgQ2bQ_pqc2
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